Abelprisvinner 2013 Pierre Deligne

Populærvitenskapelig fremstilling ved Arne B. Sletsjøe

Weil-formodningene

Delignes mest berømte resultat er hans spektakulære løsning av den siste og dypeste av Weil-formodningene, nemlig formodningen som omtales som analogien til Riemann-hypotesen for algebraiske varieteter over endelige kropper.

André Weil skrev i 1949 i artikkelen Numbers of solutions of equations in finite fields: .. and other examples which we cannot discuss here, seem to lend some support to the following conjectural statements, which are known to be true for curves, but which I have not so far been able to prove for varieties of higher dimension.

André WeilAndré Weil

Det Weil ikke klarte å bevise, er siden blitt kalt Weil-formodningene. Weil-formodningene dreier seg om såkalte zeta-funksjoner. Zeta-funksjoner er en matematisk konstruksjon som holder rede på antall løsninger av en likning, i forskjellige tallsystemer. Når Weil sier det er kjent at formodningene stemmer for kurver, mener han at de stemmer for likninger i to ukjente. Varieteter i høyere dimensjoner, som Weil refererer til, svarer til likninger i tre eller flere ukjente.
Likningen x2-y2=3 beskriver en kurve i planet, og i rammen over har vi vist at den har 4 løsninger i tallsystemet {0,1,2,3,4} med telling modulo 5.

Vi merker oss at ingen av tallene 0,1,2,3,4 har kvadrat lik 2. Derfor innfører vi et nytt tall α, kalt kvadratroten av 2. Dette tallet finnes ikke i den opprinnelige mengden, det vil si α er ikke lik noen av 0,1,2,3,4, og tallet bestemmes av at α2=2. Når vi utvider tallmengden til også å omfatte α, får vi mange nye løsninger av likningen x2-y2=3, for eksempel x=0 og y=α siden 022=-2=3 når vi teller modulo 5. Vi har også løsningen x=α og y=2. En opptelling gir oss i alt 24 forskjellige løsninger i det utvidede tallsystemet. De to tallene 4 og 24 bestemmer de to første leddene i zeta-funksjonen i dette eksemplet.

Det er i alt fire Weil-formodninger. Weil beviste selv at formodningene stemmer når likningen svarer til en kurve. For mer generelle likninger ble tre av formodningene bevist av andre matematikere i løpet av en periode på 10-15 år etter at Weils artikkel sto på trykk i 1949. Den siste formodningen, den vanskeligste og mest oppsiktsvekkende, omtales som analogien til Riemann-hypotesen og ble bevist av Pierre Deligne i 1974.

Det ble tidlig klart at formodningene ville stemme dersom man kunne finne en bestemt type kohomologi, omtalt som Weil-kohomologi. Kohomologi er matematiske verktøy som ble utviklet på 1920-30-tallet for å forstå og systematisere kunnskap om geometriske former og strukturer. Jo mer komplisert struktur, jo mer kohomologi. Weil hadde ikke selv noen forslag til hvordan Weil-kohomologi skulle defineres, men han visste hvilke egenskaper kohomologien måtte ha for å kunne gi et bevis for Weil-formodningene.

På slutten av 1940-tallet kjente heller ingen andre til noen kohomologi som kunne løse problemet og dermed forene det geometriske aspektet knyttet til løsning av likninger, og det aritmetiske aspektet, representert ved de endelige kroppene (les tallsystemene). Løsningen kom rundt 1960. Da introduserte Alexander Grothendieck begrepet étale-kohomologi, som han foreslo skulle spille rollen som den mystiske, ukjente, men helt nødvendige Weil-kohomologien. Problemet var imidlertid å bevise at étale-kohomologi tilfredsstilte kravene til å være en Weil-kohomologi. Grothendieck klarte det ikke, men det gjorde derimot hans unge student Pierre Deligne. Ved et komplisert resonnement, der han baserte sine argumenter på flere tidligere resultater som var oppnådd av andre matematikere, klarte Deligne å bevise Weil-formodningene i sin fulle generalitet. Resultatet vakte berettiget oppsikt og brakte Deligne inn i det matematiske toppsjiktet.

Førstesiden i André Weils artikkel fra 1949Førstesiden i André Weils artikkel fra 1949

Telling modulo 5

Å telle modulo 5 betyr at i stedet for å telle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,..., så teller vi 0,1,2,3,4,0,1,2,3,..., det vil si vi begynner på 0 igjen hver gang vi kommer til 5. Regnestykket 4+2 betyr å telle 2 videre fra 4. Hvis vi teller modulo 5, kommer vi ikke til 6, men til 1, dvs. 4+2=1. Regnestykket 3·4 modulo 5, betyr å telle til 4 tre ganger, det vil si 1,2,3,4,0,1,2,3,4,0,1,2, som gir 3·4=2. Tallsystemet {0,1,2,3,4} med disse regnereglene kalles en endelig kropp (engelsk: finite field) med 5 elementer.

Vi skal finne hvilke løsninger likningen x2-y2=3 har i dette tallsystemet. Ved å regne ut alle kvadratene, 02=0, 12=1, 22=4, 32=4 og 42=1, ser vi at den eneste muligheten til å oppnå en differanse på 3 mellom to kvadrater, er når x2=4 og y2=1. Siden det er to kvadrater som blir 4 (22 og 32), og to som blir 1 (12 og 42), får vi i alt fire løsninger, x=2 og y=1, x=2 og y=4, x=3 og y=1, og til slutt x=3 og y=4.

Et annet eksempel på modulo-telling er klokkeslett, hvor vi teller modulo 12. Dersom vi går ut klokka 10 og er borte i 4 timer, så er vi tilbake klokka 2.

Gangetabell Modulo 5

Gangetabell modulo 5
Det Norske Videnskaps-Akademi
Drammensveien 78
N-0271 Oslo
Telefon: +47 22 84 15 00
Telefaks: +47 22 12 10 99
E-post: abelprisen@dnva.no
 
Nettredaktør: Anne-Marie Astad
Design og teknisk løsning: Ravn Webveveriet AS
 
The Norwegian Academy of Science and Letters
Drammensveien 78
N-0271 Oslo, Norway
Telephone: + 47 22 84 15 00
Fax: + 47 22 12 10 99
E-mail: abelprisen@dnva.no
Web editor: Anne-Marie Astad
Design and technical solutions: Ravn Webveveriet AS