ï»ż Lennart Carleson
English
Niels Henrik Abel
 Abelprisen
 Prisvinner 2011
 Presserom
 Multimedia 2011
 Barn og skole

Bakgrunnsmateriale

Diskrete dynamiske systemer

Dynamiske systemer er ofte beskrevet ved hjelp av differensiallikninger. Likningene modellerer sammenhengene mellom et fysisk systems endringer og dets tilstand. For Ä forstÄ det fysiske systemets utvikling over tid er det nÞdvendig Ä kunne integrere systemet, dvs. Ä finner lÞsninger for differensiallikningene enten analytisk som kompakte formler eller numerisk ved utstrakt bruk av regnemaskiner. Et eksempel pÄ et dynamisk system er denne modellen hentet fra Þkologi: Vi ser pÄ to arter som konkurrerer om plassen i et geografisk avgrenset omrÄde. Den ene arten lever av Ä spise den andre. Vi lar x=x(t) vÊre bestanden av jegerdyret, mens y=y(t) er bestanden av byttedyret, begge deler ved tidspunktet t. Vi kan nÄ stille opp et system av differensiallikninger som beskriver de to bestandenes utvikling

Dermed har vi skaffet oss et dynamisk system. LĂžsningene til systemet vil beskrive hvordan de to dyrebestandene utvikler seg over tid.

I et diskret dynamisk system er tidsparameteren gjort om til en diskret stÞrrelse. Likningene som inngÄr i systemet, beskriver neste tilstand som en bestemt funksjon av den forrige. Et enkelt eksempel er det som kalles den diskrete logistiske vekstmodellen, gitt ved

La oss anta at x0=0,5 og se hva slags utvikling vi fÄr. I tabellen lar vi konstanten k anta fire forskjellige verdier. Vi fÄr fire forskjellige forlÞp: for k=1,5 fÄr vi et sÄkalt fikspunkt, dvs. etter hvert stabiliserer xn seg pÄ en fast verdi, i dette tilfellet 0,3333... . For k=3,2 fÄr vi en annen likevektstilstand, to forskjelllige verdier for xn og regelmessig veksling mellom dem. For k=3,5 fÄr vi noe av det samme, men denne gangen er det fire verdier vi alternerer mellom. I alle disse eksemplene observerer vi en attraktor eller en mengde som systemet over tid vil bevege seg mot. For k=3,9 derimot fÄr vi en helt ny situasjon, utviklingen blir kaotisk, tilsynelatende uten noe lett gjenkjennelig system.

n k=1,5 k=3,2 k=3,5 k=3,9
1 0,3750 0,8000 0,8750 0,9750
2 0,3515 0,5120 0,3828 0,0950
3 0,3419 0,7995 0,8269 0,3355
4 0,3375 0,5128 0,5008 0,8694
5 0,3354 0,7995 0,8749 0,4426
6 0,3343 0,5130 0,3828 0,9621
7 0,3338 0,7995 0,8269 0,1419
8 0,3335 0,5130 0,5008 0,4750
9 0,3334 0,7995 0,8749 0,9725
10 0,3333 0,5130 0,3828 0,1040
11 0,3333 0,7995 0,8269 0,3634
12 0,3333 0,5130 0,5008 0,9022

Den logistiske vekstmodellen er et eksempel pÄ et en-dimensjonalt dynamisk system. Hénon-avbildningen er et eksempel pÄ et to-dimensjonalt system.

I likhet med det en-dimensjonale systemet har ogsÄ dette systemet fikspunkter, dvs. verdier slik at xn+1=xn og yn+1=yn. Disse finner vi ved


I HĂ©nons standardeksempel er konstantene a=1,4 og b=0,3. Det gir for det ene fikspunktet xn ≈ 0,63135 og yn ≈ 0,18941. HĂ©non-avbildningen har en kaotisk attraktor (bevist av Carleson og Benedicks), en mengde som er slik at dersom systemet fĂžrst har kommet seg inn i attraktoren, sĂ„ vil det forbli der, men internt i attraktoren har vi en kaotisk utvikling.
HjemNyhetsarkivKalender      Nettredaktűr: Anne Marie Astad  Det Norske Videnskaps-Akademi  E-post: dnva@online.no