Lennart Carleson

Populære framstillinger av Carlesons resultater

Hénon-avbildningen

Det nyeste arbeidet som komiteen trekker fram i sin begrunnelse for å gi Abelprisen til Lennart Carleson, stammer fra perioden 1985–1991 og kulminerer med Carleson og Benedicks’ avhandling fra 1991 hvor de beviser at Hénon-avbildningen har en kaotisk attraktor. Dette arbeidet ligger innenfor fagfeltet dynamiske systemer. For å få et innblikk i hva det dreier seg om, skal vi gå tilbake til 1960, til Massachusetts Institute of Technology (MIT) i USA. Der drev meteorologen Edward Lorenz på med å lage gode modeller for været, slik meteorologer har for vane å gjøre. Lorenz hadde det som vi etter dagens standard ville kalle en svært primitiv regnemaskin til hjelp når han skulle gjøre de enorme antall regneoperasjoner som skal til for å predikere vær. I grove trekk foregår nemlig moderne værvarsling ved at man ser på de fysiske lovene som gjelder og på det utgangspunktet man har for vind, fuktighet, trykk o.l. akkurat nå. Ved hjelp av denne beskrivelsen beregner man størrelsen på de samme parameterne et lite tidsintervall senere, så enda et tidsintervall senere, enda et senere osv. for så å ende med en spådom for morgendagens vær. Lorenz var nødt til å forenkle det hele ned til tre parametere. Disse tre ga han så hver sin verdi og så begynte han å «sveive maskinen», altså gjøre gjentatte beregninger.

Historien sier nå at Lorenz en dag forsøkte å fortsette en kjøring han hadde startet dagen før. Han startet omtrent halvveis av der han var kommet dagen før, satte inn de aktuelle tallene og startet maskinen. Til å begynne med stemte det hele med det han hadde observert dagen i forveien, men plutselig begynte verdiene å avvike fra gårsdagens tall. Først bare litt, men avviket akselererte voldsomt og før han visste ordet av det hadde modellen predikert noe fullstendig annerledes enn den hadde gjort dagen før. Hvordan kunne dette skje? Likningene var de samme, startpunktet var det samme, regnemaskinen var den samme, likevel ble svaret forskjellig?

Forklaringen var at verdiene ikke var de samme. Lorenz rundet av den fjerde desimalen da han startet andre dag, dermed var det en forskjell i utgangspunktet. Men kunne en forskjell på én 10 000-del forårsake en slik katastrofe? Vi tar det vanligvis for gitt at en liten forskjell i det vi setter inn gir en liten forskjell i resultatet. Men her var det ikke slik. Og grunnen var at prosessen er bygget på gjentakelser der det foregående resultatet blir neste premiss. Et lite avvik som blir litt større for hvert trinn, vil etter mange trinn føre oss ut i det ukjente. Lorenz hadde oppdaget det som siden er blitt kalt sommerfugleffekten innen meteorologi, nemlig at ett enkelt slag med vingene til én sommerfugl i Beijing i mars kan føre til at augustorkanene i Atlanterhavet får et fullstendig annerledes forløp!

Vi skal la alle værmessige og andre fysikalske konsekvenser av Lorenz’ oppdagelse ligge og konsentrere oss om det matematiske innholdet. Ved å bruke kraftige regnemaskiner var det ikke vanskelig å illustrere Lorenz-systemet. Men det betydde ikke dermed at man hadde noen særlig innsikt i den matematiske strukturen, og det så heller ikke ut til at noen skulle være i stand til å skaffe seg denne innsikten.

I 1976 presenterte astronomen Michel Hénon en forenklet versjon av Lorenz’ system. Hénons diskrete dynamiske system hadde to viktige ingredienser: det var mye enklere å regne på enn Lorenz-systemet og i likhet med Lorenz-systemet oppviste det en kaotisk attraktor. Hénon-systemet er beskrevet ved en avbildning T av planet inn i seg selv, gitt ved regelen

(man kan godt bruke andre koeffisienter enn 1,4 og 0,3, men det er disse som vanligvis brukes i eksempler). Ved denne regelen vil punktet (0, 0) avbildes på punktet (1, 0), punktet (1, 0) avbildes på (–0,4, 0,3) som igjen avbildes på (1,076, –0,12), osv. I dette tilfellet havner vi inne i attraktoren; kurven som er illustrert i figuren nedenfor. Det samme er tilfelle om vi begynner med punktet (0, 0,2918), men ikke om vi begynner med (0, 0,2919). Da vil vi raskt forsvinne langt ut i det uendelig fjerne. Dette er enkelt å programmere på et regneark. Skriv følgende i de fire rutene øverst til venstre på regnearket:

	A	B
1	0	0
2	=1+B1-1,4A1A1	=0,3*A1

Kopier nå feltene A2 og B2 nedover på A- og B-kolonnene så langt du måtte ønske, gjerne i 10 000 rader. Hvis du nå merker alle feltene A1:B10000 og trykker på graf-symbolet på toppen av regnearksiden, velger XY (scatter) og dernest alternativet uten noen hjelpestreker, får du et bilde av Hénon-attraktoren, omtrent som på figuren under.

Punktene i denne mengden dukker opp på en tilsynelatende usystematisk måte, ett her, ett der. Det er først når vi nærmer oss noen tusen punkter at vi ser de store linjene. Så viser det seg at det vi tror vi ser, ikke er hele sannheten. Hvis vi forstørrer opp de litt tykke linjene i attraktoren, dukker det opp stadig nye detaljer. Linjene er ikke linjer men en samling linjer. Forstørrer vi videre, ser vi at det samme gjentar seg; enkeltlinjene splittes alltid opp i enda mindre enkeltlinjer. Vi sier at attraktoren har fraktal natur.

Men så dukker dette virkelig vanskelige spørsmålet opp: hvis vi gjør 10 000 beregninger på denne måten, eller vi gjør 10 000 000 beregninger, får vi omtrent det samme bildet. Flere beregninger vil bare avdekke mer av den fraktale strukturen. Men hvordan kan vi vite at vi ikke plutselig fyker ut i det uendelig fjerne, slik tilfellet er etter at vi har gjort ca. 35 iterasjoner når startpunktet er (0, 0,291807922563607)? Er dette virkelig en attraktor?

Carleson og Benedicks presenterte et formelt bevis for at verden er akkurat slik vi tror den er, at det finnes en kaotisk attraktor. Det er ikke slik at det skjer noe uforutsett hvis vi gjør millioner av milliarder av gjentakelser. Er vi først innenfor denne merkelige mengden, ja så blir vi der. Problemet kan kanskje virke søkt og litt snevert for en ikke-matematiker, men dette er matematikk og ikke meteorologi eller fysikk. Og derfor er det tvingende nødvendig at man vet og ikke bare tror.

Innhold

Populære framstillinger av Carlesons resultater

Hénon-avbildningen