Populære framstillinger av
Carlesons resultater
Kakeyas nålproblem
Det fjerde problemet komiteen nevner i sin begrunnelse, er ikke et problem hvor Carleson har kommet med et epokegjørende gjennombrudd slik tilfellet er med de tre forannevnte problemene. Imidlertid har Carleson sammen med sin student Sjölin bevist et resultat som har vist seg å ha betydning i studiet av dette problemet og særlig dets generaliseringer. Siden problemet har en nokså allmenn innfallsvinkel, tar vi med en beskrivelse av det.
Vi dypper en nål i blekk og legger den på et papir. Oppgaven går ut på å vri nålen 180 grader rundt uten å løfte den fra papiret. Vi har lov til å skyve den fram og tilbake mens vi dreier den, omtrent som vi
gjør når vi snur bilen rundt på en parkeringsplass. Spørsmålet er hvor stort areal på arket som er farget av blekk når vi er ferdig, og spesielt om det finnes en nedre grense for dette arealet når vi velger en optimal måte å gjøre snuoperasjonen på. Dette problemet er kjent som Kakeyas nålproblem, formulert av japaneren Kakeya i 1917.
La oss anta at nÃ¥len har lengde 1. Vrir vi nÃ¥len rundt midtpunktet, vil vi ha fargelagt et omrÃ¥de med areal π•0,52≈0,78. Dette er opplagt ikke optimalt, vi kan helt sikkert klare oss med en likesidet trekant med høyde 1 og med areal tilnærmet lik 0,58. Og enda bedre, en hyposykloide (kurven som framkommer fra et punkt pÃ¥ et lite hjul som triller rundt inne i et større hjul) med diameter 1. Denne har areal 0,39. Men alle disse svarene er gale, riktig svar er at flaten kan gjøres sÃ¥ liten vi bare vil! Det ble bevist av russeren Besicovitch i 1928. Hans mengde besto av et stort antall meget lange og smale trekanter, omtrent som grenene pÃ¥ et juletre i et barns strek. Det gjelder Ã¥ kjøre fram og tilbake veldig mange ganger, og bare svinge litt hver gang.
I dag er det generaliseringer av dette problemet som er på dagsordenen, og det er her Carleson-Sjölins resultat om Fourier-multiplikatorer kommer inn som et standardverktøy.
