Lennart Carleson

Populære framstillinger av Carlesons resultater

Konvergens av Fourier-rekker

En måte å beskrive Carlesons konvergenssats for Fourier-rekken til en kvadratisk integrerbar funksjon på, er via lydbølger. Vi kan identifisere en funksjon med en lyd, slik at grafen til funksjonen beskriver svingningene i en membran. En komplisert funksjon vil normalt gi en nokså bråkete lyd, mens en glatt og regelmessig bølgefunksjon vil gi en klokkeklar tone, som fra en stemmegaffel.

Lyden fra musikkinstrumenter vil i denne sammenhengen kunne framstilles som bestemte sammen-setninger av slike glatte, rene stemmegaffelbølger, i matematisk språkdrakt kalt harmoniske svingninger. Instrumentenes overtonemønster, eller deres individuelle lydbilde, er karakteristiske summer av rene harmoniske svingninger med bølgelengder som er heltallige produkter av en grunnbølgelengde. En del blåseinstrumenter har relativt få framtredende overtoner, mens f.eks. fiolinen nettopp er preget av sitt store mangfold av overtoner.

I en slik setting kan Fouriers problem formuleres på følgende måte: Kan et orkester, om mulig med uendelig mange og vilkårlig små instrumenter, spille enhver tenkelig lyd?

Med en relativ stor grad av omtrentlighet kan vi si at Carleson i sitt arbeid fra 1966 gir et positivt svar på dette spørsmålet og at han faktisk gir et rigorøst matematisk bevis for påstanden. Figuren gir et lite innblikk i hvordan denne tilnærmingsprosessen foregår. I dette tilfellet starter vi med en funksjon som er 1 i intervallet fra 0 til π og –1 mellom π og 2π, illustrert ved den stiplede linja. Den første tilnærmingen er med en ren harmonisk svingning, merket med N=1. Vi ser at tilnærmingen ikke er veldig god. Hvis vi tar med 5 ledd, tegnet inn som kurven N=5, ser vi at tilnærmingen blir mye bedre. Slik kan vi fortsette, og jo flere ledd vi tar med, jo mer blir den nye kurven lik den opprinnelige «firkantkurven».

Den presise formen på kurven N=5 i dette eksempelet er

og man kan lett gjette seg til hvordan vi kan fortsette tilnærmingen med flere og flere ledd. Et interessant poeng med akkurat denne kurven er de to «hornene» som dukker opp rett til høyre for x=0 og rett til venstre for x=π. Det viser seg at selv om vi tar med stadig flere ledd, klarer vi ikke å bli kvitt dem. De blir etter hvert smalere og smalere, men de blir ikke borte. Dette fenomenet kalles Gibbs fenomen og dukker opp i en mengde tilsvarende eksempler.

Beviset for Carlesons konvergensresultat skal vi ikke prøve oss på her, der tar vi komiteens advarsel på alvor: «Beviset for dette resultatet er så vanskelig at det i over 30 år fremstod som mer eller mindre isolert fra resten av den harmoniske analysen. Det er først i det seneste tiåret at matematikerne har fått innsikt i den generelle teorien for operatorer som denne satsen er en del av, og har begynt å ta i bruk Carlesons innflytelsesrike tanker i sine egne arbeider.»

Innhold

Populære framstillinger av Carlesons resultater

Konvergens av Fourier-rekker