Lennart Carleson

Populære framstillinger av Carlesons resultater

Koronateoremet og Carleson-mål

I matematisk litteratur brukes ordet teorem, og av og til sats, synonymt med det kanskje mer forståelige hovedresultat. Slike hovedresultater har en tendens til å få navn: Fermats siste sats, Abels addisjonsteorem, algebraens fundamentalteorem eller mer dagligdagse navn som trekantulikheten, spektralsatsen eller koronateoremet.

Total solar eclipse, July 11, 1991 observed at Hawaii
Photo: S. Koutchmy, IAP-CNRS (France)

Carlesons koronateorem henspeiler på solas korona, den ringen av lysende materie rundt sola som kun kan observeres ved totale solformørkelser. Carleson har aldri vært noen ekspert på solas indre (eller ytre) liv, men han har bevist et vanskelig teorem som har fått navnet sitt fra sola. Det var japaneren Kakutani som på begynnelsen av 1940-tallet kom med en formodning som da ble kalt koronaproblemet. En formodning er ikke det samme som et teorem. En formodning er ikke bevist! Dette er et triks matematikere av og til bruker. I noen situasjoner er man overbevist om at et resultat er riktig selv om man ikke klarer å bevise det. Alle eksempler taler for at det er riktig, og i mange spesialtilfeller kan man faktisk bevise resultatet formelt. Men man får altså ikke til det siste resonnementet som skal til for å si at resultatet er bevist. Hva gjør man da? Legger alt i skuffen og prøver å glemme det? Nei, man stiller opp en hypotese som man så publiserer på samme måte som man gjør med ferdig beviste resultater. Og så kaller man det en formodning. Og er man heldig, så oppkaller ettertiden formodningen etter formoderen, selv om noen helt andre faktisk klarer å bevise resultatet.

Dette var altså skjebnen til koronaproblemet, en formodning alle trodde på, men ingen kunne bevise. Hva dreide så dette seg om? Koronaproblemet tar for seg bestemte funksjoner definert på en sirkelskive. Randen til denne sirkelskiven er en sirkel. Dersom disse funksjonene oppfører seg pent(?) innenfor sirkelen, hvor mye krøll kan de da «finne på» på selve sirkelen? Carlesons teorem gir et svar på dette spørsmålet. Og analogien med koronaen? Sirkelskiven er sola og det som skjer på randen, altså på sirkelen, svarer til koronaen.

Dette resultatet til Carleson er også et eksempel på hvordan løsning av ett problem har hatt betydning for andre problemer. I Carlesons bevis for koronaproblemet introduserer han et mål. Et mål er i denne forbindelse en måte å tilordne et positivt tall til en gitt mengde på. Man kan f.eks. definere et mål på tallinjen ved at et intervall får tilordnet sin lengde, eller at en mengde i planet får tilordnet sitt areal. Carleson har behov for å måle lengden på visse kurver han konstruerer på sirkelskiven, og introduserer et mål i den hensikt. I ettertid har dette målet selvfølgelig blitt kalt Carleson-mål, og det har vist seg å være et usedvanlig nyttig hjelpemiddel innen flere matematiske fagfelt.

Innhold

Populære framstillinger av Carlesons resultater

Koronateoremet og Carleson-mål