| English |
| Niels Henrik Abel |
Abelprisen |
Prisvinner 2011 |
Presserom |
Multimedia 2011 |
Barn og skole |
|
|||||||
|
InnholdInnledning Hvem er Lennart Carleson? Hvorfor har han blitt tildelt Abelprisen for 2006? à rets Abelpris i et samfunnsperspektiv Presise (matematiske) formuleringer av Carlesons resultater PopulÊre framstillinger av Carlesons resultater Konvergens av Fourier-rekker Koronateoremet og Carleson-mÄl Hénon-avbildningen Kakeyas nÄlproblem Bakgrunnsmateriale Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) Intitut Mittag-Leffler Fourier-analyse Diskrete dynamiske systemer Referanser til illustrasjoner |
Presise (matematiske) formuleringer av Carlesons resultaterKonvergens av Fourier-rekkerLa f vĂŠre en integrerbar funksjon definert pĂ„ intervallet [-π,π]. Vi definerer den m-te Fourier-koeffisienten til f ved  Den n-te delsummen til funksjonen f er gitt ved  Teorem (Carleson)Dersom f(x) er kvadratisk integrerbar, konvergerer sn(x) mot f(x) nesten overalt. L. Carleson: On Convergence and Growth of Partial Sums of Fourier Series. Acta Mathematica, Volume 116, pp. 135-157. KoronaproblemetTeorem (Carleson)La B vĂŠre Banach-algebraen av begrensede analytiske funksjoner pĂ„ den Ă„pne enhetsdisken i det komplekse planet under den naturlige normen. La f1,âŠ,fn vĂŠre gitte funksjoner i B slik at  for et reelt tall δ. Da er I(f1,âŠ,fn) = B. L. Carleson: Interpolations by Bounded Analytic Functions and the Corona Problem. Annals of Mathematics, Volume 76, No. 3, November 1962, pp. 547-559. En alternativ formulering:La M vĂŠre mengden av maksimale idealer i B (definert over). Siden kvotienten B/m for et maksimalt ideal m er isomorf med de komplekse tallene C, kan vi pĂ„ en naturlig mĂ„te identifisere m med en homomorfi φm: BâC slik at m=ker(φm). Det gir oss en naturlig avbildning π: MâD av M inn i den lukkede enhetsdisken i det komplekse planet, gitt ved π(φ)=φ(z) der z er identitetsavbildningen pĂ„ disken. Kontinuitet av φ sikrer at |φ(z)|≤|z|≤1. For ethvert element ω i det indre D0 av enhetsdisken kan vi danne det maksimale idealet m=mω bestĂ„ende av alle funksjoner med et nullpunkt i ω. Siden z-ω ligger i m sĂ„ vil π(φm)=φm(z)=φm(z-ω+ω)=φm(z-ω)+φm(ω)=ω og vi fĂ„r en naturlig embedding av D0 inn i M. Komplementet til D0 avbildes ved π pĂ„ enhetssirkelen |ω|=1, og for hvert komplekst tall ω med absoluttverdi 1 kan vi danne fiberen Mω=π-1(ω). Denne fiberen inneholder homomorfier som svarer til «evaluering i ω», i anfĂžrselstegn siden homomorfiene egentlig ikke er definert pĂ„ randen. NĂ„ har vi imidlertid fĂžlgende resultat (hentet fra K. Hoffman: Banach spaces of Analytic functions, Prentice-Hall, 1962): La f vĂŠre en funksjon i B og la ω vĂŠre et punkt pĂ„ enhetssirkelen. La {λn} vĂŠre en fĂžlge av punkter i den Ă„pne enhetsdisken D0 slik at λn âω. Anta videre at grensen ζ av fĂžlgen av f (λn) ogsĂ„ eksisterer. Da finnes en kompleks homomorfi φ i fiberen Mω slik at φ(f)=ζ. Det kan altsĂ„ a priori finnes en mengde «evalueringshomomorfier» pĂ„ enhetssirkelen svarende til ulike mĂ„ter Ă„ tilnĂŠrme seg punktet ω pĂ„. Det er dette mangfoldet som har gitt opphavet til navnet «koronaproblemet». Carlesons resultat sier at D0 er tett i M, dvs. at hele koronaen ligger i tillukningen til den Ă„pne disken. I Carlesons bevis for koronateoremet introduserer han et bestemt mĂ„l, som i ettertid har fĂ„tt navnet Carleson-mĂ„l. DefinisjonLa μ vĂŠre et ikke-negativt mĂ„l pĂ„ den Ă„pne enhetsdisken D0 i det komplekse planet og anta at μ(S) ≤ Câąh for alle mengder S pĂ„ formen  Da kalles μ et Carleson-mĂ„l. Carleson trenger denne definisjonen til Ă„ vise fĂžlgende resultat. Vi lar HP, 1<p<â vĂŠre Banach-rommet av analytiske funksjoner f definert pĂ„ det indre av den komplekse enhetsdisken D0 under normen 
Teorem (Carleson)La μ vĂŠre et ikke-negativt mĂ„l pĂ„ D0. Da er μ et Carleson-mĂ„l hvis og bare hvis 
for alle f i rommet HP, 1<p<â og hvor Cp er en konstant. Bevis for at det eksisterer en kaotisk attraktor for HĂ©non-avbildningenHĂ©non-avbildningen er definert som det diskret-tid-dynamiske systemet gitt ved 
Vi kaller avbildningen T. I HĂ©nons opprinnelige eksempel var a=1,4 og b=0,3. Teorem (Benedicks, Carleson)La Wu vĂŠre den ustabile mangfoldigheten til T ved dens fikspunkter i fĂžrste kvadrant. Da vil det for alle c < log2 eksistere en b0 > 0 slik at for alle 0 < b < b0 sĂ„ eksisterer det en mengde E(b) av positive en-dimensjonale Lebesgue-mĂ„l slik at for alle a i mengden E(b) sĂ„ gjelder: (i) Det finnes en Ă„pen mengde U=U(a,b) slik at for alle z ∈ U,
dist
(ii) Det finnes et punkt z0=z0(a,b)
a.
b. M. Benedicks, L. Carleson: The dynamics of the Hénon Map. Annals of Mathematics, Volume 133, No. 1, 1991, pp. 73-169. Her stÄr DT for Jacobi-matrisen til T. Hénon-attraktoren er fraktal, glatt i én retning og en Cantor-mengde i en annen. Numeriske estimater antyder en korrelasjonsdimensjon pÄ 1,42 ± 0,02 (Grassberger, 1983) og en Hausdorff-dimensjon pÄ 1,26 ± 0,003 (Russel, 1980) for attraktoren til den kanoniske avbildningen. I klartekst sier Benedicks-Carlesons resultat at Hénon-avbildningen har sÄkalte kaotiske attraktorer for en ikke-tom (t.o.m. av positivt mÄl) mengde av parameterverdier. |
HjemNyhetsarkivKalender Nettredaktűr: Anne Marie Astad Det Norske Videnskaps-Akademi E-post: dnva@online.no
|
nÄr 
slik at
er tett i 
