Abelprisvinner 2013 Pierre Deligne

Populærvitenskapelig fremstilling ved Arne B. Sletsjøe

Moduli for stabile kurver

For å kunne bevise at moduli-rommet av stabile kurver er kompakt, introduserte David Mumford og Pierre Deligne begrepet algebraisk stack. En algebraisk stack er et algebraisk geometrisk objekt som gir en abstrakt generalisering av et geometrisk rom.

Såkalte moduli-problemer dreier seg om klassifikasjon av matematiske objekter. Vanligvis betyr klassifikasjon at man grupperer individer eller objekter i familier og underfamilier, og lager et hierarkisk system som stadig blir finere etter hvert som man kommer dypere inn i klassifikasjonen. Et moduli-problem handler også om å dele opp en mengde av matematiske objekter i klasser av ekvivalente objekter.

To formlike trekanterTo formlike trekanter

En klassifikasjon av mengden av alle trekanter kan f.eks. være å dele inn trekantene etter formlikhet. Men moduli-problemer krever i tillegg at mengdene som klassifiserer objektene selv har en rik matematisk struktur.

Moduli-problemet for kurver innebærer derfor å finne et stort geometrisk objekt, som vi kaller den universelle familien, og et mindre objekt, som vi kaller moduli-rommet, med en god avbildning fra den universelle familien ned i moduli-rommet. Moduli-rommet er konstruert slik at hvert punkt i dette rommet svarer til en bestemt klasse av kurver, og motsatt, hver klasse av kurver er representert ved et punkt i moduli-rommet. Den universelle familien inneholder i tillegg til moduli-rommet, alle kurvene vi skal klassifisere, og hver kurve avbildes på nøyaktig det punktet i moduli-rommet som svarer til akkurat denne kurven. Moduli-rommet vil være det objektet som klassifiserer alle kurvene og eksistens av en universell familie sikrer at klassifikasjonen huskerstrukturen til kurvene. F.eks. krever vi at avbildningen fra den universelle familien inn i moduli-rommet er kontinuerlig, slik at kurver som ligner veldig på hverandre svarer til punkter i klassifikasjonen som ligger i nærheten av hverandre.

Når vi står ovenfor et moduli-problem, slik som med de stabile kurvene, kan det hende at det er relativt enkelt å finne selve moduli-rommet. Men det er slett ikke sikkert at det finnes noen universell familie over dette rommet.

Se på følgende eksempel: En veldig grov klassifisering av reelle tall går ut på å dele dem i to klasser, 0 og ikke 0. Med andre ord, den ene klassen inneholder kun ett element (0), mens den andre inneholder alle andre (≠0). Moduli-rommet vil i dette tilfellet bestå av to punkter, mens kandidaten til å være den universelle familien vil være hele tallinja. Avbildningen fra den universelle familien ned i moduli-rommet tar 0 på det ene punktet og alt annet på det andre punktet. Denne avbildningen er imidlertid ikke kontinuerlig siden vi kan finne reelle tall som ligger så nær 0 vi bare måtte ønske, men som likevel avbildes på noe som har en ekte avstand til 0. Så i dette tilfellet finnes det et moduli-rom, men ikke noen universell familie over dette rommet.

David MumfordDavid Mumford

Deligne og Mumford ønsket å vise at moduli-rommet av stabile kurver er kompakt. Kompakthet er en teknisk betegnelse som gjerne kan forklares via et illustrerende eksempel. Tallinja er ikke kompakt, mens en sirkel er kompakt. For å vise kompakthet trengte de å vite noe om den universelle familien.

Problemet med å konstruere en universell familie for stabile kurver ligger i at kurvene har interne symmetrier, og ulike kurver har forskjellig antall symmetrier. Igjen skal vi bruke et mer intuitivt eksempel til å illustrere hvilke problemer dette skaper. I stedet for kurver skal vi se på trekanter.

Vi tenker oss at vi har konstruert et moduli-rom som klassifiserer alle trekanter opp til formlikhet. De aller fleste trekanter har ingen interne ikke-trivielle symmetrier, men likebeinte trekanter har en og likesidede har fem ikke-trivielle interne symmetrier. De interne symmetriene kan vi bruke til å konstruere en ikke-konstant familie av trekanter, f.eks. over en sirkel, som i løpet av ett omløp rundt sirkelen dreier trekanten 120 grader. Vi kan se for oss denne familien som en trekantet myk sylinder som vi bøyer og limer sammen til en slags trekantet smultring. Men før vi limer sammen vrir vi den ene enden 120 grader. Siden trekantene er likesidete vil endeflatene fortsatt passe perfekt sammen. Alle snitt i smultringen består av identiske trekanter, men tvisten før sammenliming gjør at dette ikke er noen konstant familie.

Bildet av denne ikke-konstante familien inn i den universelle familien vil imidlertid være konstant, siden vi hele tiden har å gjøre med den samme trekanten. Men et krav til en universell familie er at den skal være universell, i den forstand at den seralle mulige andre familier. I dette tilfellet gjør den ikke det, hvilket betyr at det ikke finnes noen universell familie. Og den underliggende årsak til at vi ikke får det til i dette tilfellet er altså at likesidete trekanter har interne symmetrier.

Deligne og Mumfords svar på disse problemene var å introdusere et nytt begrep, såkalte algebraiske stacks, som siden har blitt hetende Deligne-Mumford-stacks eller bare DM-stacks. I motsetning til det vanlige moduli-rommet, så vil en DM moduli-stack ta opp i seg informasjon om de interne symmetriene til trekantene. Dersom vi nå forsøker å bygge en universell familie over denne moduli-stacken, har vi mye større sjanse til å lykkes, siden det som lagde problemene for oss, på sett og vis er blitt kodet inn i strukturen til de nye objektene vi jobber med.

Det Norske Videnskaps-Akademi
Drammensveien 78
N-0271 Oslo
Telefon: +47 22 84 15 00
E-post: abelprisen@dnva.no
 
Nettredaktør: Eirik Furu Baardsen
Design og teknisk løsning: Ravn Webveveriet AS
 
The Norwegian Academy of Science and Letters
Drammensveien 78
N-0271 Oslo, Norway
Telephone: + 47 22 84 15 00
E-mail: abelprisen@dnva.no
Web editor: Eirik Furu Baardsen
Design and technical solutions: Ravn Webveveriet AS