Abelprisvinner 2013 Pierre Deligne

Populærvitenskapelig fremstilling ved Arne B. Sletsjøe

Riemann-Hilbert-korrespondansen

Ved den internasjonale kongressen for matematikere (ICM) i 1900 presenterte David Hilbert sin berømte liste over 23 matematiske problemer. Det 21. problemet var formulert slik: “In the theory of linear differential equations with one independent variable z, I wish to indicate an important problem, one which very likely Riemann himself may have had in mind. This problem is as follows : To show that there always exists a linear differential equation of the Fuchsian class, with given singular points and monodromic group. .....”

En differensiallikning er en likning som beskriver en sammenhengen mellom en funksjon og hvordan funksjonen endrer seg. Differensiallikninger har vært studert siden 1600-tallet og er et viktig matematisk verktøy til å studere fenomener i naturen.

Et eksempel på et slikt fenomen er en strømvirvel. Grunnleggende naturlover og innsikt i vannets oppførsel gjør oss i stand til å stille opp en differensiallikning som beskriver hva som skjer med vannet i et badekar når vi trekker ut proppen. Løsningen av likningen beskriver en virvelbevegelse, veldig lik den vi observerer i vannet.

Virvelbevegelse

Forskjellen på den matematiske modellen, uttrykt ved differensiallikningen, og virkelighetens våte element, øker når vi nærmer oss sentret av virvelen. I badekaret er det ikke noe vann i sentret av virvelen, det har allerede rent ned i sluket, men i modellen vil vannet sirkulere fortere og fortere jo nærmere sentret vi kommer. I selve sentret vil modellen bryte sammen og vi sier at differensiallikningen har en singularitet i dette punktet. Slike singulariteter har en interessant effekt på løsningene til differensiallikningen. Det kan oppstå et fenomen som kalles monodromi. Monodromi kommer fra gresk og betyr enkelt omløp.

Anta at vi har funnet en funksjon som løser en differensiallikning. Verdien av funksjonen vil variere kontinuerlig langs vilkårlige kurver, og når vi kommer tilbake til utgangspunktet for kurven vil funksjonsverdien være den samme som da vi startet. Det vil si, så lenge ikke kurven omslutter en singularitet. Da kan det nemlig hende at verdien er endret. Dette er det som kalles monodromi. Det minner litt om å bevege seg rundt i en vindeltrapp. Så lenge vi ikke sirkler rundt singulariteten i sentrum av vindeltrappen, holder vi oss på samme trinn, mens en runde rundt singulariteten vil bringe oss enten opp eller ned.

En differensiallikning kan ha forskjellig antall og typer singulariteter og den kan også ha ulike former for monodromi. Dette var Hilbert meget vel klar over. Det han funderte på var om det motsatte var tilfellet. Dersom vi først bestemmer oss for form for monodromi og for type og antall singulariteter, finnes det da en differensiallikning som har akkurat disse egenskapene?

Spørsmålet har fått mange svar gjennom de siste hundre år, noen korrekte, og andre mindre korrekte. Samtidig har problemet blitt utvidet og generalisert. Den komplette løsningen av problemet i sin mest generelle form tilskrives Pierre Deligne.

Det Norske Videnskaps-Akademi
Drammensveien 78
N-0271 Oslo
Telefon: +47 22 84 15 00
E-post: abelprisen@dnva.no
 
Nettredaktør: Eirik Furu Baardsen
Design og teknisk løsning: Ravn Webveveriet AS
 
The Norwegian Academy of Science and Letters
Drammensveien 78
N-0271 Oslo, Norway
Telephone: + 47 22 84 15 00
E-mail: abelprisen@dnva.no
Web editor: Eirik Furu Baardsen
Design and technical solutions: Ravn Webveveriet AS